题目
题型:单选题难度:困难来源:湖南省期中题
(1)求函数g(x)在区间(0,e]上的值域;
(2)是否存在实数a,对任意给定的x0∈(0,e],在区间[1,e]上都存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由。
(3)给出如下定义:对于函数y=F(x)图象上任意不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果对于函数y=F(x)图象上的点M(x0,y0)(其中总能使得F(x1)﹣F(x2)=F"(x0)(x1-x2)成立,则称函数具备性质“L”,试判断函数f(x)是不是具备性质“L”,并说明理由。
答案
解:(1)∵g"(x)=e1-x+xe1-x=ex-1(1-x)在区间(0,1]上单调递增,
在区间[1,e)上单调递减,且g(0)=0,g(1)=1>g(e)=e2-e
函数g(x)在区间(0,e]上的值域为(0,1]。
(2)令m=g(x),则由(1)可得m∈(0,1],
原问题等价于:对任意的m∈(0,1]
f(x)=m在[1,e]上总有两个不同的实根,
故f(x)在[1,e]不可能是单调函数
∴
当a≤0时,,在区间[1,e]上递减,不合题意
当a≥1时,f"(x)>0,在区间[1,e]上单调递增,不合题意
当时,f"(x)<0,在区间[1,e]上单调递减,不合题意
当即时,在区间上单调递减;在区间上单递增,
由上可得,此时必有f(x)的最小值小于等于0且f(x)的最大值大于等于1,
而由可得,
则a∈Φ
综上,满足条件的a不存在.
(3)设函数f(x)具备性质“L”,即在点M处地切线斜率等于kAB,不妨设0<x1<x2,
则,
而f(x)在点M处的切线斜率为,
故有…
即,
令,
则上式化为,
令F(t)=,
则由
可得F(t)在(0,1)上单调递增,
故F(t)<F(1)=0,
即方程无解,
所以函数f(x)不具备性质“L”。
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax﹣lnx+1(a∈R),g(x)=xe1-x。(1)求函数g(x)在区间(0,e]上的值域;(2)是否存在实数a,对任意给定的x0∈(0,】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
关于下列命题:
①若函数y=2x的定义域是{x|x0},则它的值域是{y|y1};
②若函数y=的定义域是{x|x>2},则它的值域是{y|y};
③若函数y=x2的值域是{y|0y4},则它的定义域一定是{x|﹣2x2};
④若函数y=的值域是{y|y3},则它的定义域是{x|0<x8}.
其中不正确的命题的序号是( )(注:把你认为不正确的命题的序号都填上)。
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