题目

题型：解答题难度：一般来源：南汇区二模

设函数y=f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）求证：y=f（x）为奇函数；
（2）在区间[-9，9]上，求y=f（x）的最值．

答案

（1）证明：令x=y=0，得f（0）=0
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数…（6分）
（2）对任取实数x₁、x₂∈[-9，9]且x₁＜x₂，这时，x₂-x₁＞0，
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₁）=-f（x₂-x₁）
因为x＞0时f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在[-9，9]上是减函数
故f（x）的最大值为f（-9），最小值为f（9）
而f（9）=f（3+3+3）=3f（3）=-12，f（-9）=-f（9）=12
∴f（x）在区间[-9，9]上的最大值为12，最小值为-12  …（12分）