题目

题型：解答题难度：一般来源：门头沟区一模

对于集合M，定义函数f_M（x）=

-1，x∈M 1，x∉M

，对于两个集合M，N，定义集合M⊗N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1．已知A={1，2，3，4，5，6}，B={1，3，9，27，81}．
（Ⅰ）写出f_A（2）与f_B（2）的值，并用列举法写出集合A⊗B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求Card（X⊗A）+Card（x⊗b）的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P，Q⊆A∪B，且（P⊗A）⊗（Q⊗B）=A⊗B．

答案

（Ⅰ）f_A（2）=-1，f_B（2）=1，
∴A⊗B={2，4，5，6，9，27，81}．…（3分）
（Ⅱ）X⊗A={x|x∈X∪A，x∉X∩A}，X⊗B={x|x∈X∪B，x∉X∩B}
要使Card（X⊗A）+Card（X⊗B）的值最小，
1，3一定属于集合X，X不能含有A∪B以外的元素，
所以当集合X为{2，4，5，6，9，27，81}的子集与集合{1，3}的并集时，
Card（X⊗A）+Card（X⊗B）的值最小，最小值是7         …（8分）
（Ⅲ）因为f_A⊗B（x）=f_A（x）•f_B（x），
f_{（A⊗B）⊗C}（x）=f_A（x）•f_B（x）•f_C（x）
所以⊗运算具有交换律和结合律，
所以（P⊗A）⊗（Q⊗B）=（P⊗Q）⊗（A⊗B）
而（P⊗A）⊗（Q⊗B）=（A⊗B）
所以P⊗Q=∅，所以P=Q，而A∪B={1，2，3，4，5，6，9，27，81}
所以满足条件的集合对（P，Q）有2⁹=512个                   …（13分）