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题目
题型:大连难度:来源:
如图1,在△ABC和△PQD中,AC=kBC,DP=kDQ,∠C=∠PDQ,D、E分别是AB、AC的中点,点P在直线BC上,连接EQ交PC于点H.
猜想线段EH与AC的数量关系,并证明你的猜想.说明:如果你经历反复探索,没有解决问题,可以从下面①、②中选取一个作为已知条件,完成你的证明.
注意:选取①完成证明得10分;选取②完成证明得6分.
①AC=BC,DP=DQ,∠C=∠PDQ(如图2);
②在①的条件下且点P与点B重合(如图3

魔方格
答案
结论:EH=
1
2
AC.(1分)


魔方格

证明:取BC边中点F,连接DE、DF.(2分)
∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点.
∴DEBC且DE=
1
2
BC,
DFAC且DF=
1
2
AC,(4分)
EC=
1
2
AC∴四边形DFCE是平行四边形.
∴∠EDF=∠C.
∵∠C=∠PDQ,∴∠PDQ=∠EDF,∴∠PDF=∠QDE.(6分)
又∵AC=kBC,∴DF=kDE.
∵DP=kDQ,∴
DP
DQ
=
DF
DE
=k
.(7分)
∴△PDF△QDE.(8分)
∴∠DEQ=∠DFP.(9分)
又∵DEBC,DFAC,∴∠DEQ=∠EHC,∠DFP=∠C.
∴∠C=∠EHC.(10分)
∴EH=EC.(11分)
∴EH=
1
2
AC.(12分)

选图2.结论:EH=
1
2
AC.(1分)
证明:取BC边中点F,连接DE、DF.(2分)
∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点,
∴DEBC且DE=
1
2
BC,DFAC且DF=
1
2
AC,(4分)
EC=
1
2
AC,∴四边形DFCE是平行四边形.
∴∠EDF=∠C.
∵∠C=∠PDQ,∴∠PDQ=∠EDF,∴∠PDF=∠QDE.(6分)
又∵AC=BC,∴DE=DF,∵PD=QD,∴△PDF≌△QDE.(7分)
∴∠DEQ=∠DFP.
∵DEBC,DFAC,∴∠DEQ=∠EHC,∠DFP=∠C.
∴∠C=∠EHC (8分)
∴EH=EC.(9分)
∴EH=
1
2
AC.(10分)



魔方格

选图3.结论:EH=
1
2
AC.(1分)
证明:连接AH.(2分)
∵D是AB中点,∴DA=DB.
∵AC=kBC,DP=kDQ,
AC
BC
=
DP
DQ
=k,
又∵∠C=∠PDQ,
∴△ACB△PDQ,
∴∠ABC=∠PQD,
∴DB=DQ,
∴DQ=DP=AD,
∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ=180°,
∴∠AQB=90°,
∴AH⊥BC.(4分)
又∵E是AC中点,
∴HE=
1
2
AC.(6分)
核心考点
试题【如图1,在△ABC和△PQD中,AC=kBC,DP=kDQ,∠C=∠PDQ,D、E分别是AB、AC的中点,点P在直线BC上,连接EQ交PC于点H.猜想线段EH与】;主要考察你对三角形中位线等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知:△ABC是任意三角形.

魔方格

(1)如图1所示,点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点,求证:∠MPN=∠A.
(2)如图2所示,点M、N分别在边AB、AC上,且
AM
AB
=
1
3
AN
AC
=
1
3
,点P1、P2是边BC的三等分点,你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确?请说明你的理由.
(3)如图3所示,点M、N分别在边AB、AC上,且
AM
AB
=
1
2010
AN
AC
=
1
2010
,点P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点,则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=______.
(请直接将该小问的答案写在横线上)
题型:济南难度:| 查看答案
顺次连接三角形三边的中点,所构成的三角形与原三角形对应高的比是(  )
A.1:4B.1:3C.1:2D.1:1
题型:朝阳区难度:| 查看答案
已知任意四边形ABCD,且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q.
(1)若四边形ABCD如图1,判断下列结论是否正确(正确的在括号里填“√”,
魔方格
错误的在括号里填“×”).
甲:顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形;(  )
乙:顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形.(  )
(2)请选择甲、乙中的一个,证明你对它的判断.
(3)若四边形ABCD如图2,请你判断(1)中的两个结论是否成立?
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如图,AC是菱形ABCD的对角线,E、F分别是AB、AC的中点,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长是______.魔方格
题型:贵港难度:| 查看答案
四边形ABCD为边长等于1的菱形,顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH(四边形EFGH称为原四边形的中点四边形),再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形,…,则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于______.
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