题目

题型：竞赛题难度：来源：

某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．

答案

解：设有x个学生，y个管理员．该宿舍每位学生与赠一张贺卡，
那么每个人收到的贺卡就是x﹣1张，那么总共就用去了x（x﹣1）张贺卡；
每个人又赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了xy张贺卡；
每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了y张贺卡；
∴x（x﹣1）+xy+y=51，
∴51=x（x﹣1）+xy+y
∴x（x﹣1）+x+1=x²+1（当y=1时取“=”），
解得，x≤7； x（x﹣1）+（x+1）y=51
∵51是奇数，而x和x﹣1中，有一个是偶数，
∴x（x﹣1）是偶数，
∴（x+1）y是奇数，
∴x是偶数，而x≤7，所以x只有2 4 6三种情况；
当x=2时，y=（不是整数，舍去）；
当x=4时，y=（不是整数，舍去）；
当x=6时，y=3． 所以这个宿舍有6个学生．