题目

题型：不详难度：来源：

请观察式子
1×2×3×4+1=5²
2×3×4×5+1=11²
3×4×5×6+1=19²
…
（1）猜想20000×20001×20002×20003+1=______²
（2）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明．

答案

（1）∵1×2×3×4+1=5²=（1×4+1）²，
2×3×4×5+1=11²=（2×5+1）²，
3×4×5×6+1=19²=（3×6+1）²，
…
∴20000×20001×20002×20003+1=（20000×20003+1）²=400060001．
故答案为400060001．
（2）对于一切自然数n，
∵n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=n⁴+3n³+2n²+3n³+9n²+6n+1
=（n²+3n）²+2n（n+3）+1
=[n（n+3）+1]²
=（n²+3n+1）²．