题目

题型：浙江省月考题难度：来源：

已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。
（1）当α=30°时（如图②），求证：AG=DH；
（2）当0°＜α＜90 °时，（1）中的结论是否成立？请根据图③说明理由；
（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，DM与DN的比值是否发生改变？如果不改变，请直接写出比值；如果改变，请说明理由。

答案

解：（1）∵∠A=∠ADM=30°  
∴MA=MD  
又MG⊥AD于点G  
∴AG=DG
∵∠BDC=180 °- ∠ADE- ∠EDF=180 °-30 °-90 °=60 °= ∠B  
∴CB=CD    
∴C 与N 重叠    
又NH⊥DB于点H    
∴DH=BH
∵AD=DB      
∴AG=DH；
（2）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论成立，
如图③，在Rt △AMG 中，∠A=30°    
∴∠AMG =60°=∠B
又∠AGM=∠NHB=90 °      
∴△AGM∽△NHB  
∴ ……  ①
∵∠MDG=α      
∴∠DMG=90°-α=∠NDH
又∠MGD=∠DHN=90°    
∴Rt△MGD∽Rt△DHN
∴ …… ②
①×②，得  
由比例的性质，得
即
∵AD=DB    
∴AG=DH；    
（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中，值没有改变，。