题目
题型:不详难度:来源:
问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=
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李明同学的思路是:将△BPC绕点B顺时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2).连接PP′,可得△P′PB是等边三角形(可证),而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证).所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°.进而把AB放在Rt△APB(可证得)中,用勾股定理求出等边△ABC的边长为
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[思路分析]首先仔细阅读材料,问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个(组)图形中进行研究.旋转60度以后BP就成了BP′,PC成了P′A,借助等量关系BP′=PP′,于是△APP′就可以计算了.
解决问题:
请你参考李明同学旋转的思路,探究并解决下列问题:
如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=
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答案
将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得△BP′A,
则△BPC≌△BP′A.
∴AP′=PC=1,BP=BP′=
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连结PP′,
在Rt△BP′P中,
∵BP=BP′=
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∴PP′=2,∠BP′P=45°.
在△AP′P中,AP′=1,PP′=2,AP=
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∵12+22=(
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即AP′2+PP′2=AP2.
∴△AP′P是直角三角形,即∠AP′P=90°.
∴∠AP′B=135°.
∴∠BPC=∠AP′B=135°.
如图3,过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E.
∴∠EP′B=45°.∴EP′=BE=1.∴AE=2.
∴在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=
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∴∠BPC=135°,正方形边长为
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核心考点
试题【请阅读下列材料:问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=3,PC=1.求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.李明同学的思路是:将】;主要考察你对图形的旋转等知识点的理解。[详细]
举一反三
活动一:如图1,在Rt△ABC中,D为斜边AB上的一点,AD=2,BD=1,且四边形DECF是正方形,求阴影部分的面积.
小明运用图形旋转的方法,将△DBF绕点D逆时针旋转90°,得到△DGE(如图2所示),一眼就看出这题的答案,请你写出阴影部分的面积:______.
活动二:如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠C=90°,BC=5,CD=3,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,求AE的长.
小明仍运用图形旋转的方法,将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADG(如图4所示),则①四边形AECG是怎样的特殊四边形?答:______.AE的长是______.
活动三:如图5,在四边形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE,连接AE.若AB=2,DC=4,求△ABE的面积.
(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.
(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;
(2)画出△ABC以O为旋转中心顺时针旋转90°得到的△A2B2C2;
(3)判断△CC1C2是什么三角形,并求出它的面积.
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