题目

题型：期末题难度：来源：

情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A"C"D，如图（l）所示，将△A"C"D的顶点A"与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A"）、B在同一条直线上，如图（2）所示，观察图（2）可知：与BC相等的线段是______，∠CAC"=______°。
问题探究
如图（3），在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论。
拓展延伸
如图（4），在△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H，若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由。

答案

解：情境观察
AD（或A′D），90；
问题探究结论：
EP=FQ，
证明：∵△ABE是等腰三角形，
∴AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
∵AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP，
∵EP⊥AG，
∴∠AGB=∠EPA=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△EAP，
∴AG=EP，
同理AG=FQ，
∴EP=FQ，
拓展延伸
结论：HE=HF，
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q，
∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP，
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴，
同理△ACG∽△FAQ，
∴，
∵AB=kAE，AC=kAF，
∴=k，
∴，
∴EP=FQ，
∵∠EHP=∠FHQ，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH，
∴HE=HF。