题目

题型：同步题难度：来源：

设二次函数y=﹣x²+4x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．
（1）求A，B，C的坐标；
（2）在y轴上求作一点M，使MA+MC最小，并求出点M的坐标．

答案

解：（1）∵y=﹣x²+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点C（2，1），
令y=0．即﹣（x﹣2）²+1=0，
∴（x﹣2）²=1，x﹣2=±1，x=3或1，
∴函数与x轴交点坐标为（3，0）或（1，0），
∴A（3，0），B（1，0），C（2，1）或A（1，0），B（3，0），C（2，1）；
（2）①当A坐标为（3，0）时，A关于y轴对称点A"（﹣3，0），
设A"C的解析式为y=kx+b，
∴k=，b=，
∴A"C的解析式为y=x+，与y轴交点为M（0，），
∴M在y轴上，使MA+MC最小时M点坐标为（0，）；
②当A坐标为（1，0）时，同理可求得M坐标为（0，）
∴满足题意的M点坐标为（0，）或（0，）．