题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图已知AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过C点作DC⊥OA，交AB于点D。
（1）求证：∠CDO=∠BDO；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为4，求CD的长；
（3）求阴影部分的面积。

答案

解：（1）∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，即∠B=90°，
又∵DC⊥OA，
∴∠OCD=90°，
在Rt△COD与Rt△BOD中，
∵OD=OD，OB=OC，
∴Rt△COD≌Rt△BOD（HL）
∴∠CDO=∠BDO；
（2）在Rt△ABO中，∠A=30°，OB=4，
∴OA=8，
∴AC=OA-OC=8-4=4，
在Rt△ACD中，tan∠A=，
又∠A=30°，AC=4，
∴CD=AC·tan30°=；
（3）由（2）知AC=OC=4，DC⊥OA，
∴DC为OA的垂直平分线
∴DO=DA，∠DOC=∠A=30°
由（1）知，∴Rt△COD≌Rt△BOD
∴∠BOC=2∠DOC=60°，
∴
在Rt△AOB中，tan∠A=，∠A=30°，OB=4，
∴AB=
∴，
∴
∴。