题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF。
（l）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长。

答案

解：（1）证明：连接OC，
∵AE⊥CD，CF⊥AB，
又∵CF=CF，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AE，
∴OC⊥CD，
∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB=6，
∴OB=OC=1/2AB=3，
在Rt△OCD中，OC=3，OD=OB+BD=6，
∴∠D=30°，∠COD=60°，
在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，
∴AE=1/2AD=9/2，
在△OBC中，
∵∠COD=60°，OB=OC，
∴BC=OB=3。