题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图①，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于D，PD的垂直平分线交OA的延长线于点C，连接CD。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若P是OA延长线上的任意一点，其他条件不变，CD还是⊙O的切线吗？如果是，在备用图②中作出相应图形（请保留作图痕迹），并论证。

答案

解：（1）连OD，
∵PC=CD，
∴∠CPD=∠CDP，
而∠CPD=∠BPO，
∴∠CDP=∠BPO，
又∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠OBP+∠OPB=90°，
∴∠ODC=∠ODP+∠CDP=90°，
∴CD是⊙O的切线；（2）作图，
 理由：连OD，
∵CD=CP，
∴∠3=∠4，
同理：∠1=∠2，
而∠1+∠4=90°，
从而得∠2+∠3=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切线。