题目

题型：江苏省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为，函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点。

（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围。

答案

解：（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G
∵直线AB的函数关系式是y=-x+2，
∴易得A（2，0），B（0，2），
∴AO=BO=2
又∵∠AOB=90°，
∴∠DAO=45°
∵C（-2，-2），
∴CG=OG=2，
∴∠COG=45°，∠AOD=45°，
∴∠ODA=90°
∴OD⊥AB，即CO⊥AB。
（2）要使△POA为等腰三角形
①当OP=OA时，此时点P与点B重合，所以点P的坐标为（0，2）；
②当OP=PA时，由∠OAB=45°，所以点P恰好是AB的中点，
所以点P的坐标为（1，1）；
③当AP=AO时，则AP=2，过点作PH⊥OA交OA于点H，
在Rt△APH中，易得PH=AH=，
∴OH=2-，
∴点P的坐标为（2-，）
∴若△POA为等腰三角形，则点P的坐标为（0，2）或（1，1）或（2-，）。（3）当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK
由点C的坐标为（-2，-2），易得CO=
∴∠POD=30°，
又∠AOD=45°，
∴∠POA=75°，
同理可求得∠POA的另一个值为15°
∵M为EF的中点，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM=∠POD，CO⊥AB，
∴△COM∽△POD，
所以，
即MO·PO=CO·DO
∵PO=t，MO=s，
CO=，DO=，
∴st=4
但PO过圆心C时，MO=CO=，PO=DO=，
即MO·PO=4，也满足st=4
∴s=（≤t≤）。