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题目
题型:不详难度:来源:
如图,O是已知线段AB上一点,以OB为半径的⊙O交线段AB于点C,以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D,过点B作AB的垂线与AD的延长线交于点E.
(1)求证:AE切⊙O于点D;
(2)若AC=2,且AC、AD的长时关于x的方程x2-kx+4


5
=0的两根,求线段EB的长;
(3)当点O位于线段AB何处时,△ODC恰好是等边三角形?并说明理由.
答案
(1)证明:连接OD.
根据直径所对的圆周角是直角,得OD⊥AE,
则AE切⊙O于点D.

(2)∵AC=2,AC、AD是所给方程的两根,
∴2AD=4


5

∴AD=2


5

由切割线定理,得AD2=AC•AB,
∴AB=
AD2
AC
=10,
则BC=AB-AC=10-2=8,
∴OD=4.
在△AOD和△AEB中,∵∠A=∠A,
又∵EB⊥AB,
∴∠EBA=∠ODA=90°
∴△AOD△AEB.
OD
BE
=
AD
AB

∴BE=
OD•AB
AD
=4


5


(3)当点O位于线段AB上靠近B的三等分点处时,△ODC恰好为等边三角形.
证明如下:∵OB=OC=
1
2
BC,
∴AC=
1
3
AB.
∴AC=OC=OD.
∴C为以AO为直径的圆的圆心.
∴CD=OC=OD.
∴△ODC是等边三角形.
核心考点
试题【如图,O是已知线段AB上一点,以OB为半径的⊙O交线段AB于点C,以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D,过点B作AB的垂线与AD的延长线交于点E.(1)求证:AE】;主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
(初三)如图,△ABC中,AB=AC,I为△ABC的内心,AI的延长线交△ABC的外接圆于点D,过点I作BC的平行线分别交AB、AC于E、F,若O是△DEF外接圆的圆心.
证明:(1)O点在线段AD上;
(2)AB、AC是⊙O的切线.
(初二)如图,四边形ABCD中,∠ADC=60°,∠ABC=30°,DA=DC,求证,BD2=AB2+BC2
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如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,若∠P=70°,则∠C的大小为______(度).
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如图,⊙O1的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O2为正方形ABCD的中心,O1O2垂直AB于P点,O1O2=8.若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现(  )
A.3次B.5次C.6次D.7次

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如图,在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=8,点O是斜边AB上一点,以O为圆心的⊙O分别与AC,BC相切于点D,E.
(1)当AC=2时,求⊙O的半径;
(2)设AC=x,⊙O的半径为y,求y与x的函数关系式.
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如图,PA为⊙O直径,过弧AC的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B,若HB=6cm,BC=4cm,求⊙O直径.
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