题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P，设⊙O的半径为r。
（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP=r²；
（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由。

答案

解：（1）连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ，
∵FQ是⊙O直径，
∴∠FDQ=90°，
∴∠QFD+∠Q=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠C=90°，
∵∠Q=∠C，
∴∠QFD=∠P，
∵∠FOE=∠POF，
∴△FOE∽△POF，
∴，
∴OE·OP=OF²=r²；

（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，（1）中的结论成立，
理由如下：
依题意画出图形（如图），连接FO并延长交⊙O于M，连接CM，
∵FM是⊙O直径，
∴∠FCM=90°，
∴∠M+∠CFM=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠E+∠D=90°，
∵∠M=∠D，
∴∠CFM=∠E，
∵∠POF=∠FOE，
∴△POF∽△FOE，
∴，
∴OE·OP=OF²=r²。