题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D。
（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，AF与CD的延长线交于点G（如图①），求证：AC²=AG·AF；
（2）李明证明（1）的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点（点A、D除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与⊙O相交于点H（如图②），连接FH后，他惊奇的发现∠GFH=∠AFC，根据这一条件，可证GF·GA=GH·GC，请你帮李明给出证明；
（3）当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点（点A、B除外）时，如图③、④所示，还有许多结论成立，请你根据图③或图④再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外）（不要求证明）。
图1                             图2                                图3                             图4

答案

解：（1）延长CG交⊙O于H，
∵CD⊥AB，
∴AB平分CH，
∴弧CH=弧AH，
∴∠ACH=∠AFC，
又∠CAG=∠FAC，
△AGC∽△ACF，
∴，
即AC²=AG·AF；
（2）∵CH⊥AB，
∴弧AC=弧AH，
∴∠AFC=∠ACG，
又∠AFC=∠GFH，
∴∠ACG=∠GFH，
又∠G=∠C，
∴△GFH∽△GCA，
∴，
∴GF·GA=GC·CH；
（3）CD²=AD·DB，
AC²=AD·AB，
EF·EC=EA·EB，
AF·GA=AD·AB。