题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若CD的弦心距为1,BE=EO.求BD的长.
答案
解析
∵OD=OC,∴∠DCB=∠ODC。
又∵∠DOB和∠DCB为弧所对的圆心角和圆周角,
∴∠DOB =2∠DCB。
又∵∠A=2∠DCB,∴∠A=∠DOB。
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°。∴∠DOB+∠B=90°。∴∠BDO=90°。∴OD⊥AB。
∴AB是⊙O的切线。
(2)如图,过点O作OM⊥CD于点M,
∵OD=OE=BE=BO,∠BDO=90°,∴∠B=30°。∴∠DOB=60°。
∵OD=OC,∴∠DCB=∠ODC。
又∵∠DOB和∠DCB为弧所对的圆心角和圆周角,∴∠DOB =2∠DCB。
∴∠DCB=30°。
∵在Rt△OCM中,∠DCB=30°,OM=1,∴OC=2OM=2。
∴OD=2,BO=BE+OE=2OE=4。
∴在Rt△BDO中,根据勾股定理得:。
(1)连接OD,由OD=OC,根据等边对等角得到一对角相等,再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,可得出∠DOB=2∠DCB。又∠A=2∠DCB,可得出∠A=∠DOB,又∠ACB=90°,可得出直角三角形ABC中两锐角互余,等量代换可得出∠B与∠ODB互余,即OD垂直于BD,确定出AB为圆O的切线。
(2)过O作OM垂直于CD,根据垂径定理得到M为DC的中点,由BD垂直于OD,得到三角形BDO为直角三角形,再由BE=OE=OD,得到OD等于OB的一半,可得出∠B=30°,从而确定出
∠DOB=60°,又OD=OC,利用等边对等角得到一对角相等,再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,可得出∠DOB=2∠DCB。可得出∠DCB=30°,在三角形CMO中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM,由弦心距OM的长求出OC的长,从而确定出OD及OB的长,利用勾股定理即可求出BD的长。
本题另解:如图,过O作OM垂直于CD,连接ED,
由垂径定理得到M为CD的中点,又O为EC的中点,得到OM为三角形EDC的中位线,利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半,由弦心距OM的长求出ED的长,再由BE=OE,得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,由DE的长求出OB的长,再由OD及OB的长,利用勾股定理即可求出BD的长。
核心考点
试题【如图,△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB上的一点,且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点,以EC为直径的⊙O经过点D。(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.1.5 | B.2 | C.2.5 | D.3 |
(1)求证:四边形OGCH是平行四边形;
(2)当点C在弧AB上运动时,在CD、CG、DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度;
(3)求证:是定值.
① ∠A=45°;②AC=AB;③ 弧AE=弧BE ; ④2CE·AB=BC2,
其中正确结论的序号为
(1)在图中作出该弧的圆心O,则点O的坐标是( , );
(2)作出过点B且与该弧相切的直线;(原创)
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