题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙O₁，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0）。
（1）求C，D两点的坐标；
（2）求证：EF为⊙O₁的切线；
（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）连接DE，∵CD是⊙O₁的直径，
∴DE⊥BC，
∴四边形ADEO为矩形，
∴OE=AD=2，DE=AO=2，
在等腰梯形ABCD中，DC=AB，
∴CE=BO=2，CO=4，
∴C（4，0），D（2，2）；
（2）连接O₁E，在⊙O1中，O₁E=O₁C，∠O₁EC=∠O₁CE，
在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB，
∴O₁E∥AB，
又∵EF⊥AB，
∴O₁E⊥EF，
∵E在AB上，
∴EF为⊙O₁的切线；
（3）存在满足条件的点P，
如图，在Rt△AOB中，AB=，
过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM，
在矩形OMPN中，ON=PM，
设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，
∵∠PCN=∠ABO，∠PCN=∠AOB=90°，
∴△PNC∽△AOB，
∴，即，
解得x=，
又由△PNC∽△AOB，得，即，
∴PN=，
∴满足条件的P点的坐标为。