题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合）， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F，⊙O过点M，C，P。
（1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）与是否相等？请你说明理由；
（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H，设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形。（图2，3供参考）

答案

解：（1）如图；
（2）与不相等，
假设，则由相似三角形的性质，得MN∥DC，
∵∠D=90°，
∴DC⊥AD，
∴MN⊥AD，
∵据题意得，A与P关于MN对称，
∴MN⊥AP，
∵据题意，P与D不重合，
∴这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾，
∴假设不成立，
∴不成立；
（3）∵AM是⊙O的切线，
∴∠AMP=90°，
∴∠CMP+∠AMB=90°，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CMP=∠BAM，
∵MN垂直平分，
∴MA=MP，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM≌△MCD，
∴MC=AB=4，
设PD=x，则CP=4-x，
∴BM=PC=4-x，
连结HO并延长交BC于J，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠JHD=90°，
∴矩形HDCJ，
∴OJ∥CP，
∴△MOJ∽△MPC，
∴OJ∶CP=MO∶MP=1∶2，
∴OJ=（4-x），OH=MP=4-OJ=（4+x），
∵MC²= MP²-CP²，
∴（4+x）²-（4-x）²=16，
解得：x=1．即PD=1，PC=3，
∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7。
由此画图（图形大致能示意即可）。