题目

题型：江苏期中题难度：来源：

半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知 BC∶CA=4∶3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q。
（1）求证：△ABC∽△PQC；
（2）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长；
（4）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长。

答案

解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB =90°，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴△ABC∽△PQC；
（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，此时CP⊥直径AB于D，
∴CP=2CD，
∵AB=10，
BC∶CA=4∶3，
∴BC=8，AC=6，
又∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=4.8，
∴CP=2CD=9.6，
∵△ABC∽△PQC，
∴，
∴CQ=12.8，
（3）因为点P在⊙O上运动过程中，始终有△ABC∽△PQC，
所以PC最大时，CQ取到最大值，
∴当PC过圆心O，即PC 取最大值10时，CQ最大，最大为；
（4）当点P运动到弧CP的中点时，如图所示，过点B作BE⊥PC于点E，
∵P是弧AB的中点，∠PCB=45°，
∴∠PCA=45°，在Rt△CBE中，
 ∴CE=BE=4，
易证：△ABC∽△PBE，
∴PE=3，
∴CP=7，
∴CQ=7×=。