题目

题型：不详难度：来源：

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O中作内接矩形AMPN．令AM=x．

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在点M的运动过程中，设△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

答案

（1）
（2）当时，⊙O与直线BC相切
（3）8

解析

解：（1）∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC．
∴， 即．
∴ AN＝x． 
∴．……………………………… 2分
（2）如图2，作OD⊥BC于点D，当OD =MN时，⊙O与直线BC相切．

在Rt△ABC中，BC ==10．
由（1）知 △AMN ∽△ABC．
∴，即．
∴ MN=．
过M点作ME⊥BC 于点E，
∵sinB=，∴．
∴．
∴，解得．
∴当时，⊙O与直线BC相切．   ………………… 4分
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，如图3，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，
∴，即 AM=MB=4．
故分以下两种情况讨论：
①当0＜≤4时，．
∴ 当=4时，．……………… 5分
②当4＜＜8时，如图4，设PM、PN分别交BC于E、F．

∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN=AM=x．
又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形．
∴ FN=BM=8－x．
∴PF="PN–FN" =" x" -(8 - x) =" 2x" -8．
又△PEF∽△ACB，∴．
∴．
∴＝．
∵ 二次项系数，且当时，满足4＜＜8，
∴  ．…………………………………………………………………………… 6分
综上所述，当时，值最大，最大值是8． …………………… 7分