题目
题型:不详难度:来源:
如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,则BF=CD.解决问题:
(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求出BF与CD之间的数量关系;
(3)如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为0,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请直接写出的值(用含α的式子表示出来)
答案
解析
试题分析:本题是几何综合题,考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质.解题关键是:第一,善于发现几何变换中不变的逻辑关系,即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD;第二,熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质.本题(1)(2)(3)问的解题思路一脉相承,由特殊到一般,有利于同学们进行学习与探究.(1)如答图②所示,连接OC、OD,证明△BOF≌△COD,即可得到BF=CD;
(2)如答图③所示,连接OC、OD,可证明△BOF∽△COD,进而求出相似比为 ;(3)如答图④所示,连接OC、OD,证明△BOF∽△COD,进而可求相似比为.
试题解析:
解:(1)猜想:BF=CD.理由如下:如答图②所示,连接OC、OD.
∵△ABC为等腰直角三角形,点O为斜边AB的中点,
∴OB=OC,∠BOC=90°.
∵△DEF为等腰直角三角形,点O为斜边EF的中点,
∴OF=OD,∠DOF=90°.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
∵在△BOF与△COD中,
∴△BOF≌△COD(SAS),
∴BF=CD.
(2)答:(1)中的结论不成立.
如答图③所示,连接OC、OD.
∵△ABC为等边三角形,点O为边AB的中点,
∴ ,∠BOC=90°
∵△DEF为等边三角形,点O为边EF的中点,
∴,∠DOF=90°.
∴
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF与△COD中,
∵,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
∴ .
(3)如答图④所示,连接OC、OD.
∵△ABC为等边三角形,点O为边AB的中点,
∴ ,∠BOC=90°
∵△DEF为等边三角形,点O为边EF的中点,
∴,∠DOF=90°.
∴
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF与△COD中,
∵,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
∴ .
核心考点
试题【阅读材料如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)若a=4厘米,t=1秒,则PM= _________ 厘米;
(2)若a=5厘米,求时间t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的相似比;
(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值范围;
(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.
当,时,与的大小关系是_________________.
当,时,与的大小关系是_________________.
探究证明:
如图所示,为圆O的内接三角形,为直径,过C作于D,设,BD=b.
(1)分别用表示线段OC,CD;
(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系(用含a,b的式子表示).
归纳结论:
根据上面的观察计算、探究证明,你能得出与的大小关系是:______________.
实践应用:
要制作面积为4平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值.
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