题目

题型：广西自治区竞赛题难度：来源：

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF。
（1 ）求证：△ADF≌△CEF；
（2 ）证明：△DFE是等腰直角三角形.

答案

（1）证明：在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC
∴∠A=∠B=45°，
又∵F是AB中点
∴∠ACF=∠FCB=45°
即：∠A=∠FCE=∠ACF=45° 且：AF=CF
又∵AD=CE
∴△ADF≌△CEF；
（2）∵△ADF≌△CEF
∴DF=FE
∴△DFE是等腰三角形
又∵∠AFD=∠CFE
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC
∴∠AFC=∠DFE
∵∠AFC=90°
∴∠DFE=90°
∴△DFE是等腰直角三角形。