题目

题型：浙江省期中题难度：来源：

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由。

答案

解：（1）
（2）根据题意：AP=tcm，BQ=tcm
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t ）cm
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°
当∠BQP=90°时，BQ=BP
即t=（3-t ），
t=1 （秒）
当∠BPQ=90°时，BP=BQ
3-t=t，
t=2 （秒）
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形。（3）过P作PM⊥BC于M

Rt△BPM中，sin∠B=，
∴PM=PB·sin∠B=（3-t ）
∴S_△PBQ=BQ·PM=· t ·（3-t ）
∴y=S_△ABC-S_△PBQ=×3²×-· t ·（3-t ）
=
∴y与t的关系式为：y=
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S_{四边形APQC}=S_△ABC
∴=
∴t²-3t+3=0
∵（-3）²-4×1×3＜0，
∴方程无解
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的。