题目

题型：不详难度：来源：

在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是（　　）
（1）AE平分∠DAB；
（2）△EBA≌△DCE；
（3）AB+CD=AD；
（4）AE⊥DE；
（5）AB∥CD．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

如图：取AD的中点F，连接EF．
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD；[结论（5）]
∵E是BC的中点，F是AD的中点，
∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位线定理）①；
∴∠CDE=∠DEF（两直线平等，内错角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF；
∵F是AD的中点，∴DF=AF，
∴AF=DF=EF②，
由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[结论（3）]
由②得∠FAE=∠FEA，
由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，
∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[结论（1）]
由结论（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，则∠DEA=90°，即AE⊥DE；[结论（4）]．
由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE．
正确的结论有4个，故选D．