题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A（1，0）、 B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为α（）．
①当α等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？
②设，求s与t之间的函数关系式．

答案

（1）根据题意，得 解得
     =
   ∴顶点C的坐标为（3，2）；
（2）①∵CD=DB=AD=2，CD⊥AB， ∴∠DCB=∠CBD=45°． 
           ⅰ）若CQ=CP，则∠PCD=∠PCQ=22.5°． 
                ∴当α=22.5°时，△CPQ是等腰三角形．
        ⅱ）若CQ=PQ，则∠CPQ=∠PCQ=45°，此时点Q与D重合，点P与A重合．
               ∴当α=45°时， △CPQ是等腰三角形
          ⅲ）若PC=PQ， ∠PCQ=∠PQC=45°，此时点Q与B重合，点P与D重合．
           ∴α=0°，不合题意．
        ∴当α=22.5°或45°时，△CPQ是等腰三角形．
②连接AC，∵AD=CD=2，CD⊥AB， 
  ∴∠ACD=∠CAD=， AC= BC=
   ⅰ）当时，
       ∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45°． ∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45°．
       ∴∠ACQ=∠BPC． 
      又∵∠CAQ=∠PBC=45°， ∴△ACQ∽△BPC． 
   ∴AQ·BP=AC·BC=×=8
   ⅱ）当时，同理可得AQ·BP=AC·BC=8
         ∴