题目
题型:福建省中考真题难度:来源:
(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;
(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后,再沿x轴对折得到 △BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由;
(3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q,问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为
1∶3两部分?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)∵四边形OBHC为矩形,∴CD∥AB, 又D(5,2),
∴C(0,2),OC=2 .
∴ 解得 ;
∴抛物线的解析式为:
(2)点E落在抛物线上. 理由如下:
由y = 0,得=0
解得x1=1,x2=4
∴A(4,0),B(1,0).
∴OA=4,OB=1
由矩形性质知:CH=OB=1,BH=OC=2,∠BHC=90°,
由旋转、轴对称性质知:EF=1,BF=2,∠EFB=90°,
∴点E的坐标为(3,-1).
把x=3代入,y=得,y==-1
∴点E在抛物线上;
(3)存在点P(a,0),延长EF交CD于点G,易求OF=CG=3,PB=a-1.
S梯形BCGF = 5,S梯形ADGF = 3,
记S梯形BCQP = S1,S梯形ADQP = S2,
下面分两种情形:
①当S1∶S2 =1∶3时,,
此时点P在点F(3,0)的左侧, 则PF = 3-a,
由△EPF∽△EQG,
得,则QG=9-3a,
∴CQ=3-(9-3a) =3a -6 由S1=2,
得,解得 ;
②当S1∶S2=3∶1时,,
此时点P在点F(3,0)的右侧,
则PF = a-3,由△EPF∽△EQG,
得QG = 3a-9,∴CQ = 3 +(3 a-9)= 3 a-6,由S1= 6,
得,解得 ;
综上所述:所求点P的坐标为( ,0)或( ,0)。
核心考点
试题【如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连结BC、AD(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2) Q是线段AC上的动点,当四边形EFPQ是平行四边形时,求 □EFPQ的面积(用含x的代数式表示);
(3) 当(2)中 的□EFPQ面积最大值时,以E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与此时□EFPQ四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围。
(2)当m发生变化时, ①在C1的每一支上,y随x的增大如何变化?请说明理由。
②若C2、C3中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。
(a,a-3)。即:无论a取任何实数,该抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x都满足关系式y=x-3。根据上述材料,可以确定抛物线y=x2+4bx+b的顶点的纵坐标y与横坐标x都满足的关系式为( )。
(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,
C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;
(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.
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