题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

如图，直线y=kx-1与抛物线y=ax²+bx+c交于点A（-3，2）、B（0，-1），抛物线的顶点为C（-1，-2），对称轴交直线AB于点D，连接OC。
（1）求k的值及抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上的点，且以P、A、D三点构成的三角形是以线段AD为一条直角边的直角三角形，请求出满足条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下所得到三角形是否与△COD相似？请你直接写出判断结果（不必写出证明过程）。

答案

解：（1）∵直线y=kx-1经过A（-3，2），
         ∴2=-3k-1，即k=-1，
   把A（-3，2）、B（0，-1）、C（-1，-2）代入y=ax²+bx+c，得
   ，解得：|
   ∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-1。

（2）由得D（-1，0），即点D在x轴上，
   且，
   ∴△BDO为等腰直角三角形，
   ∴∠BDO=45°，
①过点D作⊥AB，交y轴于E，交抛物线于P₁、P₂两点，
连结P₁A、P₂A，则△P₁AD、△P₂AD都是满足条件的直角三角形。
∵∠EDO=90°-∠BDO=45°，
∴，∴点E（0，1），
∴直线的解析式为y=x+1。
由，解得或，
∴满足条件的点为P₁（-2，-1），P₂（1，2）。
②过点A作⊥AB，交抛物线与另一点P₃，连结P₃D，
则△P₃AD是满足条件的直角三角形，
∵∥，且过点A（-3，2），
∴的解析式为y=x+5，
由，解得，（舍去）
∴P₃的坐标为（2，7）。
综上所述，满足条件的点为P₁（-2，-1）、P₂（1，2）、P₃（2，7）。

（3）判断结果如下：
   △P₁AD∽△OCD；
   △P₂AD与△OCD不相似；
   △P₃AD与△OCD不相似。