题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．
（1） 求抛物线的解析式．
（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（注：抛物线的对称轴为）

答案

（1）解：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)
因为B（0，4）在抛物线上，
所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )
解得a= -
所以抛物线解析式为 
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 - 5 = 2
因为BD垂直平分PQ，
所以PD=QD，PQ⊥BD，
所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，
所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，
所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA．∠CDQ=∠CAB，
所以△CDQ∽ △CAB
即
所以AP=AD - DP = AD - DQ=5 -= ，，
所以t的值是
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为
所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称
连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小，
过点Q作QE⊥x轴，于E，
所以∠QED=∠BOA=90^。
DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，
△DQE ∽△ABO，
即
所以QE=，DE=，
所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）
设直线AQ的解析式为
则由此得
所以直线AQ的解析式为
联立由此得
所以M
则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小．