题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）。
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D。若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵函数的图象顶点为C（1，-2），
∴函数关系式可表示为， （2）设直线PE对应的函数关系到式为，
由题意知四边形ACBD是菱形，故直线PE必经过菱形的中心M，
由P（0， -1），M（1， 0）得：
 解之，得，
∴直线PE对应的函数关系式为，
联列方程组，得：
解之，得，
得点E（3， 2）。 （3）假设存在这样的点F，设，过点F作FG⊥y轴垂足为点G，
在Rt△POM和△FGP中，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，（不合题意，舍去），x₂=1故得点，
以上各步皆可逆，故点即为所求，
∴。