题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC=4，AO=2OC，且抛物线对称轴为直线x=-3．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）己知矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=

2

5

DF，求出此时点M的坐标；
（3）若点Q是抛物线上一点，且横坐标为-4，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵OC=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
∴c=4，则抛物线解析式为y=ax²+bx+4．
∵AO=2OC，则AO=8，
∴点A的坐标为（-8，0）．
又∵抛物线对称轴为直线x=-3，
∴点B的坐标为（2，O）．
∴

0=64a-8b+4 0=4a+2b+4

，
解得

a=- 1 4 b=- 3 2

．
∴该抛物线的函数表达式为y=-

1

4

x2-

3

2

x+4．（3分）

（2）∵矩形DEFG中FG∥ED，设FG与y轴交于点H，
∴△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB．
∴

FH

AO

=

CH

CO

=

HG

OB

，即

FH

8

=

m

2

．
∴FH=4m，故FG=5m．
设直线BC的解析式为：y=kx+b₁，则

4=b1 0=3k+b1

，
解得

k=-2 b1=4

．
∴直线BC的解析式为y=-2x+4，则点G的坐标为（m，-2m+4）
∴S=FG×GD=5m（-2m+4）=-10（m-1）²+10（5分）
∵0≤m≤2，
∴当m=1时，S最大．此时OD=1，OE=4，∴DE=5．
过M作MM₁⊥x轴于M₁，则△MM₁D∽△FED，
∴

MM1

FE

=

MD

DF

=

DM1

DE

∵FM=

2

5

DF，
∴

MD

DF

=

7

5

．则

MM1

2

=

DM1

5

=

7

5

．
∴MM1=

14

5

，DM₁=7，则OM₁=6．
∴此时点M的坐标为(-6，

14

5

)．（7分）

（3）存在．理由如下：
∵点Q在抛物线上，且横坐标为-4，
∴y_Q=6，
∴点Q坐标为（-4，6），
设P的坐标为（0，n），在△BPQ中，
若∠BQP为直角，则PQ²+BQ²=BP²，
∴4²+（n-6）²+6²+（2+4）²=2²+n²，
解得n=10，
此时点P的坐标为（0，10）．（8分）
若∠QBP为直角，则PQ²=BQ²+BP²，
∴4²+（6-n）²=6²+（2+4）²+2²+n²，
解得n=-2，
此时点P的坐标为（0，-2）．（9分）
若∠QPB为直角，则BQ²=BP²+PQ²，
∴6²+（2+4）²=4²+（n-6）²+2²+n²，
解得n1=3+

17

，n2=3-

17

此时点P的坐标为(0，3+

17

)或(0，3-

17

)．（11分）
综上所述，存在这样的点P，使得以△BPQ是直角三角形，所求的点P的坐标为：
（O，10）或（0，-2）或(0，3+

17

)或(0，3-

17

)．