如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分别在x，y轴上，点D在OA上，且CD=AD，（1）求直线CD的解析式；（2）求经过B、C、D三点的抛物线 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分别在x，y轴上，点D在OA上，且CD=AD，
（1）求直线CD的解析式；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）在上述抛物线上位于x轴下方的图象上，是否存在一点P，使△PBC的面积等于矩形的面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

答案

（1）设OD=x，则CD=AD=8-x．
∴（8-x）²-x²=16．

∴x=3，D的坐标是（3，O），
又点C的坐标是（0，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
于是有

b=4

3k+b=0

，
∴y=-

x+4．

（2）由题意得B、C，D三点坐标分别为（8，4），（0，4）．（3，O），设抛物线解析式为y=ax²+bx+c
则有

64a+8b+c=4

c=4

9a+3b+c=0

于是可得抛物线解析式为：y=

x²-

x+4．

（3）在抛物线上不存在一点P，使△PBC的面积等于矩形ABCD的面积．
理由是：由抛物线的对称性可知．以抛物线顶点为P的△PBC面积为最大．
由y=

x²-

x+4=

（x-4）²-

可得，顶点坐标为（4，-

）．
则△PBC的高为4+|-

．
∴△PBC的面积为

×8×

256

小于矩形ABCD的面积为4×8=32．
故在x轴下方且在抛物线上不存在一点P，使△PBC的面积等于矩形ABCD的面积．

核心考点

试题【如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分别在x，y轴上，点D在OA上，且CD=AD，（1）求直线CD的解析式；（2）求经过B、C、D三点的抛物线】；主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图所示，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y=-

x+3

，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．
（1）求A、B、C三个点的坐标；
（2）点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连

接AN、BM、MN．
①求证：AN=BM；
②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值．

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如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90°得到Rt△B

OC，（点A旋转到点B的位置），抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积

？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

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如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上．
（1）请写出P、M两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．

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二次函数y=

x2的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₁在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₁在二次函数y=

x2位于第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁都为等边三角形，则△A₀B₁A₁的边长=______，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的边长=______．

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二次函数y=

x2的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₉在y轴的正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₉在二次函数y=

x2第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₈B₂₀₀₉A₂₀₀₉都为等边三角形，计算出△A₂₀₀₈B₂₀₀₉A₂₀₀₉的边长为______．

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