题目

题型：黄石难度：来源：

若抛物线y=ax²+bx+3与y=-x²+3x+2的两交点关于原点对称，则a、b分别为______、______．

答案

由题意可得，两个函数有交点，则y相等，
则有ax²+bx+3=-x²+3x+2，得：（a+1）x²+（b-3）x+1=0．
∵两交点关于原点对称，那么两个横坐标的值互为相反数；两个纵坐标的值也互为相反数．
则两根之和为：-

b-3

a+1

=0，两根之积为

1

a+1

＜0，
解得b=3，a＜-1．
设两个交点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
这两个根都适合第二个函数解析式，那么y₁+y₂=-（x₁²+x₂²）+3 （x₁+x₂）+4=0，
∵x₁+x₂=0，
∴y₁+y₂=-（x₁+x₂）²+2x₁x₂+4=0，
解得x₁x₂=-2，
代入两根之积得

1

a+1

=-2，
解得a=-

3

2

，
故a=-

3

2

，b=3．
另法：（若交点关于原点对称，那么在y=-x²+3x+2中，必定自身存在关于原点对称的两个点，设这两个点横坐标分别为k和-k，直接在y=-x²+3x+2代入k，然后相加两个式子-k²+3k+2=0与-k²-3k+2=0，可得出k为±

2

，从而直接得到两个点，再待定系数法，将两点代入y=ax²+bx+3，直接可以得出a，b的值．