题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两。
（1）当点A的坐标为（，p）时，①填空：p=_____，m=______，∠AOE=_______；
②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax²+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化，请说明理由。
图1                                                                            图2

答案

解：（1）①P=1，m=，∠AOE=60°；
②连结TM、ME、EN，NQ、MQ（如图1）
∵OE切于点E，l∥x轴
∴∠OEQ=∠QFM=90°，且NF=MF
又∵QF=2-1=1=EF，
∴四边形MENQ是平行四边形，
∴QN∥ME
在Rt△QFN中，QF=1，QN=2，
∴∠FQN=60°
依题意，在四边形OEQT中，∠TOE=60°，∠OTQ=∠OEQ=90°，
∴∠TQE=120°
∴∠TQE+∠NQE =180°，
∴T、Q、N在同一直线上
∴ME∥TN，ME≠TN，且∠TMN=90°，
又∠TNM=30°，
∴MT=2，
又QE=QN=2，
∴△EQN为等边三角形，
∴EN=2，
∴EN=MT，
∴四边形MENT是等腰梯形；
注：也可证明∠MTN=∠ENT=60°

图1

（2）a的值不变，理由如下：
如图，DE与MN交于点F，连结MD、ME，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DME=90°，
又∵∠MFD=90°，
∴∠MDE=∠EMN，
∴tan∠MDE=tan∠EMN ，
∴，
即（1） （注：本式也可由△MDF～△EMF得到）
∵在平移过程中，图形的形状及特征保持不变，抛物线的图象可通过的图象平移得到，
∴可以将问题转化为：点D在y轴上，点M、N在x轴上进行探索（如图2），
由图形的对称性可得点D为抛物线顶点，
依题意，得，设D（0，k）（k=2r-1>0），M（x₁，0），N（x₂，0）（x₂＜x₂），
则经过M、D、N三点的抛物线为，
当y=0时，x₁、x₂为的两根，解得，
∴，
代入（1）式得，
∴，
又k>0，
∴a=-1，
故a的值不变。

图2