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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2bx+c经过点A(0,1)、B(3,)两点,BC⊥x轴,垂足为C.点P是线段AB上的一动点(不与A,B重合),过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.

(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)连结AM、BM,设△AMB的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)连结PC,当t为何值时,四边形PMBC是菱形.(10分)
答案
(1)   (2); 当
(3)四边形PMBC为菱形。
解析

试题分析:(1)已知抛物线y=-x2bx+c经过点A(0,1)、B(3,)两点,那么,解得,所以此抛物线的函数表达式是
(2)BC⊥x轴,垂足为C.点P是线段AB上的一动点(不与A,B重合),过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交X轴于D点;,而;M、P点的横坐标相同,由(1)知抛物线的解析式是,所以M的纵坐标为;由题知A0=1,BC=,OD=t,CD=OC-OD=3-t,DM=,所以=
+-=
设△AMB的面积为S,= ,要使有最大值,那么当且仅当,即当
(3)四边形PMBC是菱形,则PM=PC=BC,而由题知BC=,PM=PC=BC=,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t,M的纵坐标为,MD=,PD=MD-MP=-=,在中,由勾股定理得,即,解得,所以四边形PMBC为菱形
点评:本题考查抛物线,求最值,菱形,要求学生掌握用待定系数法求抛物线的解析式,会用配方法求二次函数的最值,掌握菱形的性质,本题问题多,所涉及的知识面广,计算量比较大,但总体难度不大
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0,1)、B(3,)两点,BC⊥x轴,垂足为C.点P是线段AB上的一动点(不与A,B重合),过】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量(吨)与月份,且取整数)之间满足的函数关系如下表:
月份(月)
1
2
3
4
5
6
输送的污水量(吨)
12000
6000
4000
3000
2400
2000
7至12月,该企业自身处理的污水量(吨)与月份,且取整数)之间满足二次函数关系式,其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费用(元)与月份之间满足函数关系式,该企业自身处理每吨污水的费用(元)与月份之间满足函数关系式;7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.

(1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出之间的函数关系式;
(2)设该企业去年第月用于污水处理的费用为W(元),试求出W之间的函数关系式;
(3)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用.
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如图,已知抛物线与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且.点E为线段BC上的动点(点E不与点B,C重合),以E为顶点作,射线ET交线段OB于点F.

(1) 求出此抛物线函数表达式,并直接写出直线BC的解析式;
(2)求证:
(3)当为等腰三角形时,求此时点E的坐标;
(4)点P为抛物线的对称轴与直线BC的交点,点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以点A、M、N、P为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
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下列各图中有可能是函数,图象的是
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在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直角梯形AOCD的顶点A的坐标为
(0,),点D的坐标为(1,),点C轴的正半轴上,过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C,点PCD的中点.

(1)求抛物线的解析式及点P的坐标;
(2) 在轴右侧的抛物线上是否存在点Q,使以Q为圆心的圆同时与轴、直线OP相切.若存在,请求出满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点M为线段OP上一动点(不与O点重合),过点OMD的圆与轴的正半轴交于点N.求证:OM+ON为定值.
(4)在轴上找一点H,使∠PHD最大.试求出点H的坐标.
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