题目
题型:不详难度:来源:
(1)求D点的坐标;
(2)如图1,连接AC,BD并延长交于点E,求∠E的度数;
(3)如图2,已知点P(﹣4,0),点Q在x轴下方的抛物线上,直线PQ交线段AC于点M,当∠PMA=∠E时,求点Q的坐标.
答案
(2)∠E=45°
(3)点Q的坐标为(2,﹣3)或(,)。
解析
分析:(1)将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值,然后配方后即可确定顶点D的坐标。
(2)连接CD、CB,过点D作DF⊥y轴于点F,首先求得点C的坐标,然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA,根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB,得到∠E=∠OCB=45°。
(3)设直线PQ交y轴于N点,交BD于H点,作DG⊥x轴于G点,增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长,从而求得点N的坐标,进而求得直线PQ的解析式,设Q(m,n),根据点Q在直线PQ和抛物线上,得到,求得m、n的值后即可求得点Q的坐标。
解:(1)把x=﹣1,y=0代入得:1+2+c=0,∴c=﹣3。
∴。
∴顶点D的坐标为(1,﹣4)。
(2)如图1,连接CD、CB,过点D作DF⊥y轴于点F,
由解得x=﹣1或x=3,∴B(3,0)。
当x=0时,,∴C(0,﹣3)。
∴OB=OC=3。
∵∠BOC=90°,∴∠OCB=45°,BC=。
又∵DF=CF=1,∠CFD=90°,
∴∠FCD=45°,CD=。
∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°
∴∠BCD=∠COA。
又∵,∴△DCB∽△AOC。
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB,∴∠E=∠OCB=45°。
(3)如图2,设直线PQ交y轴于N点,交BD于H点,作DG⊥x轴于G点,
∵∠PMA=45°,∴∠EMH=45°。∴∠MHE=90°。
∴∠PHB=90°。∴∠DBG+∠OPN=90°。
又∵∠ONP+∠OPN=90°,∴∠DBG=∠ONP。
又∵∠DGB=∠PON=90°,∴△DGB=∠PON=90°。
∴△DGB∽△PON。
∴,即,解得ON=2。
∴N(0,﹣2)。
设直线PQ的解析式为y=kx+b,
则,解得:。
∴直线PQ的解析式为。
设Q(m,n)且n<0,∴。
又∵Q(m,n)在上,∴。
∴,解得:m=2或m=。
∴n=﹣3或n=。
∴点Q的坐标为(2,﹣3)或(,)。
核心考点
试题【已知抛物线与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,抛物线的顶点为D点,点A的坐标为(﹣1,0).(1)求D点的坐标;(2)如图1,连接AC,BD并延长交于点E,求】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求出该抛物线的解析式.
(2)如图1,将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处,两直角边恰好分别经过点O和C.现在利用图2进行如下探究:
①将三角板从图1中的位置开始,绕点P顺时针旋转,两直角边分别交OA、OC于点E、F,当点E和点A重合时停止旋转.请你观察、猜想,在这个过程中,的值是否发生变化?若发生变化,说明理由;若不发生变化,求出的值.
②设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为D,顶点为M,在①的旋转过程中,是否存在点F,使△DMF为等腰三角形?若不存在,请说明理由.
给出下列命题:
①abc<0;②b>2a;③a+b+c=0
④ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1;
⑤8a+c>0.其中正确的命题是 .
(1)求a的值;
(2)若点A(m,y1)、B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.
(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
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