题目

题型：黑龙江省期中题难度：来源：

在平面直角坐标系中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由；
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标．

答案

（1）四边形OKPA是正方形． 证明：
∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK，
∴∠PAO=∠OKP=90°，
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°，
∴四边形OKPA是矩形，
又∵OA=OK，
∴四边形OKPA是正方形；
（2）解：连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为，
过点P作PG⊥BC于G，
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半径），
∴△PBC为等边三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=，
sin∠PBG=，即=．
解得：x=±2（负值舍去），
∴PG=3，PA=BC=2，
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3，
∴A（0，3），B（1，0）C（3，0）．