题目

题型：不详难度：来源：

（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

（2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F． 试证明：MN∥EF．  
（3）变式探究：如图3，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，过点M作MG⊥x轴，过点N作NH⊥y轴，垂足分别为E、F、G、H． 试证明：EF ∥GH．

答案

（1）AB∥CD，理由见解析（2）、（3）证明见解析

解析

（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．
∴ CG∥DH．   
∵△ABC与△ABD的面积相等， ∴ CG＝DH．  
∴ 四边形CGHD为平行四边形． ∴ AB∥CD．（4分 ）
（2）①证明：连结MF，NE．
设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂）．
∵ 点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴ ，．  
∵ ME⊥y轴，NF⊥x轴， ∴ OE＝y₁，OF＝x₂． ∴ S_△EFM＝， 
S_△EFN＝．   ∴S_△EFM＝S_△EFN．           
由（1）中的结论可知：MN∥EF． （8分）
（3） 法一：连接FM、EN、MN，同（2）可证MN∥EF，同法可证GH∥MN，故EF ∥GH．

法二：直接利用OE·OG=OF·OH证△OEF∽△OHG(具体过程略)（12分）
（1）分别过点C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足为G、H，根据三角形的面积求出CG=DH，推出平行四边形CGDH即可
（2）证△EMF和△NEF的面积相等，根据（1）即可推出答案
（3）利用OE·OG=OF·OH证△OEF∽△OHG，即可得出结论