题目

题型：辽宁省期末题难度：来源：

如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，设点Q的横坐标为n，求平行四边形OPCQ周长（周长用n的代数式表示），并写出其最小值．

答案

解：（1）正比例函数解析式为
   反比例函数解析式为 
（2）当点Q在直线DO上运动时，设点Q的坐标为，
  于是=
   而×1×2=1
  所以有，解得
  所以点Q的坐标为和
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，
   因为点Q在第一象限中双曲线上，所以点Q的坐标为，
  由勾股定理可得，
  由勾股定理得OP=，
    所以平行四边形OPCQ周长是．
  平行四边形OPCQ周长的最小值是．
备注：
   而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，
   所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
   所以当即时，有最小值4，
  又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，所以OQ有最小值2．