题目

题型：解答题难度：困难来源：模拟题

（1）在某年6月的日历中（见图甲），任意圈 出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的 代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是_______；
（2）现将连续自然数1至2016按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数（如图乙）；
①图中框出的这16个数的和是____；
②在图乙中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2009，2016，是否可能？若不可能，试说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。

答案

解：（1）a-7，a，a+7；
（2）①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44，如31与13，11与33，17与27都是成中心对称的，于是易算出这16个数之和为44×8=352，

②设框出的16个数中最小的一个数为a，则这16个数组成的正方形方框如上图所示，
因为方框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于2a+24，
所以这16个数之和为8×（2a+24）=16a+192，
当16a+192=2 016时，a=114，
当16a+192=2009时，a=113.5625，
∵a为自然数，
∴a=113.5625不合题意，
即框出的16个数之和不可能等于2009，
由长方形阵列的排法可知，a只可能在1.2，3，4列，即a被7除的余数只可能是1，2，3 ，4，
因为114=16×7+2，
所以，这16个数之和等于2 016是可能的，
这时，方框中最小的数是114，最大的数是114+24=138。