题目

题型：解答题难度：一般来源：邵阳

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=______；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=______；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=______．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2006×2008

．

答案

（1）

1

n

-

1

n+1

；
（2）①

2006

2007

；
②

n

n+1

；
（3）原式=

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+

1

2

(

1

6

-

1

8

)+…+

1

2

(

1

2006

-

1

2008

)
=

1

2

(

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+

1

6

-

1

8

+…+

1

2006

-

1

2008

)
=

1

2

(

1

2

-

1

2008

)
=

1003

4016