题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知一组两两不等的四位数，它们的最大公约数是42，最小公倍数是90090．问这组四位数最多能有多少个？它们的和是多少？

答案

①设这组四位数共n个，分别为
a₁=42x₁，a₂=42x₂，a₃=42x₃，a_n=42x_n，其中的每个a_i=42x_i是四位数，
所以1000≤42x_i＜10000，23＜

1000

42

≤xi＜

10000

42

＜239．
②由题设知90090=[a₁，a₂，a_n]=[42x₁，42x₂，42x_n]=42[x₁，x₂，x_n]
所以[x₁，x₂，x_n]=

90090

42

=2145=3×5×11×13，其中23＜x_i＜239．（*）
可知x_i是由3，5，11，13每个至多用一次组合成的在23和239之间的自然数，并且两两不同．其中两个质因数组合且满足（*）式者，只有33，39，55，65，143，三个质因数组合且满足（*）式者，有165和195，一个质因数以及多于三个质因数的积，都不能满足（*）式．因此最多产生7个两两不同的四位数．
a₁=42×33=1386，a₂=42×39=1638，
a₃=42×55=2310，a₄=42×65=2730，
a₅=42×143=6006，a₆=42×165=6930，
a₇=42×195=8190．
它们的和等于
42×（33+39+55+65+143+165+195）
=42×695=29190．
答：这组两两不同的四位数最多是7个，它们的和是29190．