题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

a、b为正整数，a²+b²除以a+b，商q余r，求满足q²+r=1993的所有序数对（a、b）．

答案

∵q²+r=1993，r≥0，∴q≤44，r=1993-q²，
若q＜43，则r≥1993-43²=144，
设a²+b²=q（a+b）+r，
∵a²+b²≥2ab，∴（a+b）²≤2（a²+b²）=2q（a+b）+2r，
则（a+b）²≤88（a+b）+2r＜90（a+b），
∴（a+b）＜90．则r＜90，
又∵q≤44，∴q=44，
∵a、b为自然数，a-22，b-22为整数，∴a-22，b-22的个数为0，5、1，4或6，9，
（1）当（a-22）²，（b-22）²的个位是0，5时，
则

a-22=±20 b-22=±25

或

a-22=±25 b-22=±20

即（a、b）为（42，47），（2，47）或（47，42），（47，2），
当（a-22）²，（b-22）²的个位是1，4，
则

a-22=±1 b-22=±32

，或

a-22=±8 b-22=±1

，

a-22=±32 b-22=±1

或

a-22=±31 b-22=±8

，
即（a，b）为（23，54），（21，54），（30，53），（14，53）或（54，21），（54，23），（53，30），（53，14），
（3）
当（a-22）²，（b-22）²的个位数为6，9时，整数a，b不存在，
综上所述，满足条件的有序对共12组．