题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

是否存在这样的正整数n，使得3n²+7n-1能整除n³+n²+n+1？请说明理由．

答案

用反证法，假设存在一个正整数n，使得（3n²+7n-1），
整除n³+n²+n+1，则（3n²+7n-1）整除{（n³+n²+n+1）+（3n²+7n-1）]，
=n（n²+4n+8）．
∵n与3n²+7n-1互素，所以（3n²+7n-1）整除（n²+4n+8）．
从而，3n²+7n-1互素，所以，
（3n²+7n-1）整除（n²+4n+8）．
从而，3n²+7n-1≤n²+4n+8，即2n²+3n-9≤0，所以，n=1，但n=1并不满足题目的要求，矛盾．
因此，满足题目要求的正整数n不可能存在．